Lite grammatik: För att

Är "för att arbeta" en bisats i meningen "Jag flyttade till Sverige för att arbeta"

Ja och nej. 

För att är en bisatsinledare som beskriver avsikt,  men "för att arbeta" kan inte räknas som en bisats eftersom den saknar finit verb (ett finit verb är ett verb som inte behöver att eller annat verb, i bisatser är det presens eller preteritum som räknas som finita verb. Motsatsen är infinita verb, alltså verb i infinitiv eller supinum). 

För att bisatser förkortas ofta så här genom att man tar bort subjektet (om det är samma som i meningen innan).

"Jag flyttade till USA för att jag skulle arbeta" är onödigt långt.
Eftersom subjektet är samma (jag) i både bisats och huvudsats kan vi ta bort det, och då också hjälpverbet.

Så kan du inte göra i satser där subjektet inte är samma i huvudsats och bisats.
Exempel:

"Jag flyttade till USA för att du ville arbeta där". Här kan vi inte göra satsförkortningen eftersom subjektet (jag i hs och du i bs) inte är samma i de två satserna. 

OBS!
I bisatser med eftersom och därför att (som i de här exemplen också fungerar) kan du inte göra satsförkortningar. Det är speciellt för just "för att".